Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Formulas Básicas Binomio de Suma al Cuadrado (a+b)2=a2+2ab+b2 Binomio Diferencia al Cuadrado (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Diferencia de Cuadrados (a+b)(a-b)=a2-b2 Binomio Suma al Cubo (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =a3+b3+3ab(a+b) Binomio Diferencia al Cubo (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 Suma de dos Cubos a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) Diferencia de Cubos a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac =a2+b2+c2+2(ab+bc+ac) Trinomio Suma al Cubo (a+b+c)3=a3+b3+c+3(a+b)(b+c)(a+c) Identidades de Legendre (a+b)2+(a–b)2=2a22b2=2(a2+b2) (a+b)2+(a–b)2=4ab Producto de dos binomios que tienen un término común (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

Utilidad

Al ser expresiones algebraicas, se puede utilizar los productos notables para factorizar polinomios y simplificarlas a su más pequeña expresión, así como la resolución de numeros naturales, para ecuaciones, entre otros.

Los productos notables mas que todo se utilizan en la ingieneria civil que los ayuda a medir, calcular y contar las áreas del perímetro, también sirven para calcular la superficie del terreno y por ultimo se puede usar para calcular intensidades en circuitos electrónicos

Factor común

Consiste en buscar un termino con la menor expresión de la ecuación ax+a y simplificarla de tal manera que se obtiene una expresión que se aplica la propiedad distributiva:

ax+ax=a(x+x)

Debido a que a es el coeficiente de la x y se encuentra en todos los terminos podemos expresarla de acuerdo a una distribución.

Ejemplo claro seria claramente si tenemos 6x+3x+ax el factor común seria x por lo tanto quedaría de la siguiente manera:

6x+3x+ax=x(6+3+a)

El factor puede aplicarse a que 2 elementos puedan ser el factor común aunque en tal caso dependerá del objetivo al cual se desea alcanzar, en el caso de 2x+6x-8x, podemos apreciar que el factor común en este caso puede ser X o 2x por lo que el resultado puede 2x(1+3-4) o x(2+6-8) ambos factores son correctos aunque generalmente se usa x(2+6-8) para facilitar la simplificación de polinomios.

Al aplicar factor comun en dos o más terminos semejantes se debe primero observar si es posible la distribución de un elemento por cada termino, el cual el resultado obtenido al aplicar la propiedad distributiva se obtenga el mismo valor anterior, en tal caso si aplicamos el resultado 2x(1+3-4) para poder obtenerlo el 2x debio ser previamente dividido por cada uno de los terminos anteriores.

Binomio de Suma al Cuadrado

En el caso de (a+b)² se aplica la formula expresada:

(a+b)²=a²+2ab+b²

está formula se aplica para simplificar el resultado a una expresión que pueda ser facilmente resuelta en caso de tener incognitas, raices o exponentes cuyos resultados sean muy elevados.

en el caso de tener (6+2)² podemos observar que la formula aplicada puede obtenerse el mismo resultado:

(6+2)²=6²+2*6*2+2²
(8)²=36+28
64=64

observando esto podemos decir que la suma de los terminos y elevando es mucho más sencillo y facil de resolver que aplicando producto notable, pero esto no quiera decir que muchas veces sea mas sencillo:

(74+36)²=74²+2*74*36+36²
(100)²=5476+5328+1296
12100=12100

Aunque el uso de estas expresiones se utiliza para resolución de binomios para la factorización:

(6x²+s²)²=(6x²)²+2(6x²s²)+(S²)²
36x²+12x²s²+s⁴

Observamos que a es reemplazado por 6x² y b es reemplazado por s² por lo que al aplicarse algunos terminos pueden ser elevados por otra potencia en tal caso se multiplican los exponente (a¹x²)²=a^1*2x^2*2

Binomio Diferencia al Cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Un trinomio de la expresión siguiente: a²+2ab+b²; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

(a-b)²=a²-2ab+b²

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

(2x-3y)²=(2x)²+2(2x)(-3y)+(-3y)²

Simplificando:

(2x-3y)²=4x²-12xy+9y²

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

(x+a)(x+b)= x²+(a+b)x+ab

Ejemplo:

(3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)

Agrupando términos:

(3x+4)(3x-7) = 9x²-21x + 12x -28

Luego:

(3x+4)(3x-7) = 9x² -9x -28

Suma de potencias enésimas:

Si -sólo si- n es impar, aⁿ+bⁿ =(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b²-... + b^{n-1})

Diferencia de potencias enésimas:

aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b²+...+b^{n-1})

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.

Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa:

a³ = (^(a+1)a/₂)² -(^(a-1)a/₂)²

Ahora bien que ya tenemos bien en claro lo relacionado con el tema resuelva los siguientes ejercicios si es posible, aplicando las propiedades de los numeros en R y las formulas de producto notable simplifique lo más posibles.

ejemplo: (a+b)(b³+c⁴+5x)= ab³+ac⁴+5ax+b⁴+bc⁴+5xb | (a²+b²)+c²=a²+(b²+c²)